La ley de Titius: ¿una simple coincidencia astronómica?

Jesus Salvador Giner.
Abril 2004

Probablemente, la ley de Titius es un guiño del Creador. Una ocurrencia peculiar donde las haya, pues su progresión de distancias es tan certera que es difícil pensar únicamente como un fenómeno físico el que la produce. Es posible que haya una mano invisible (quizá la misma Naturaleza) elaborando sutiles y sorprendentes ingenios para nosotros, los seres humanos. La ley de Titius, quién sabe, responde tal vez más a la inteligencia que a las exigencias de la lógica.

El Cosmos nos ofrece una serie de anécdotas y curiosidades que nos asombrarán sobre lo que las leyes de la Naturaleza pueden hacer cuando tienen a su disposición la materia prima con las que construirlas: una de ellas es la ley de Titius.

Como en la mayor parte de los descubrimientos y leyes de la Ciencia, el que éstos lleven un nombre no significa que tal investigador sea el primero en haber dado con la novedosa idea. En general, siempre hay alguien que se les adelantó y que no hizo públicos sus hallazgos por diversos motivos (uno de ellos, en la Edad Media, era el miedo a la Iglesia. No obstante, hubo quienes corrieron el riesgo de mencionar abiertamente sus ideas y creencias, aun yendo en contra del pensamiento religioso convencional... y les costó muy caro, caso por ejemplo de Galileo o sobretodo Giordano Bruno, al que quemaron vivo por sostener un Universo repleto de planetas como la Tierra y bullicioso de vida extraterrestre). Respecto a la ley de Titius, no se puede hablar de un primitivo creador de la ley anteriores a ellos dos, pero sí de un hombre que dispuso los moldes sobre los que se acomodaría la ley dos siglos antes de elaborarse; ese personaje fue el mismo que estableció las tres leyes del movimiento planetario: Johannes Kepler.

En su libro Mysterium Cosmographicum (o el Secreto del Universo), Johannes Kepler (1571-1630) describía la forma en que los planetas giraban alrededor del Sol, cuyas órbitas, creía Kepler, estaban muy relacionadas con los polígonos regulares pitagóricos. En otras palabras, cada uno de los planetas conocidos en su día por Kepler (desde Mercurio hasta Saturno) tenía su respectivo polígono y, a medida que nos alejábamos del primer planeta hacia el siguiente, el posterior polígono envolvería a su predecesor, de forma similar a las famosas muñecas rusas.

Lo más importante de esta visión (por otra parte errónea) era que, en orden creciente de distancias, esos sólidos representaban el espacio entre los planetas y aunque el trecho existente entre ellos no era sencillo de calcular y no ofrecía mucha precisión en el siglo XVII, era fácil de ver una relación que aún sería más evidente al publicar Kepler, poco después, la tercera de sus célebres leyes del movimiento de los planetas. Ésta indicaba la proporción entre el radio de la órbita del cuerpo (o sea, la distancia a la que se encontraba del Sol) y el periodo de revolución (el tiempo que tardaba en dar una vuelta en torno a la estrella). Había una extraña concordancia en lo que atañía a las distancias. ¿Habría alguna relación?

Además, Kepler fue uno de los primeros en hacer notar que las órbitas de los planetas conocidos estaban a una separación regular unos de otros, excepto en el caso de Marte y Júpiter. En efecto, entre esos cuerpos había un hueco enorme, muy superior al de resto de casos. Quizá faltase un planeta ahí.

Nuestra historia da un salto temporal desde principios del siglo XVII hasta finales del XVIII para encontrarnos con Johann Daniel Titius (1729-1796), un profesor de matemáticas y física alemán que daba clases en Wittenberg, del que se sabe poco. Sin embargo, está bastante claro que la ley que lleva su nombre es suya, es decir, Titius fue el primer investigador que sugirió la existencia de una relación matemática entre las distancias de los planetas. Al menos, eso es lo que sabemos hasta el momento.

Si conocemos dónde de encuentran los planetas, convertimos el dato a Unidades Astronómicas (U.A.), es decir, el espacio entre el Sol y la Tierra (más o menos, unos 150 millones de kilómetros) y ponemos estos datos de forma que veamos la proporción de las distancias de los planetas en relación al Sol (tabla 1), se observa una progresión curiosa. Y si seguidamente lo colocamos todo en un gráfico, nos percataremos en seguida de la relación "casi-doble" de distancias entre los planetas.

Viendo esta sorprendente relación, Titius se preguntó si no habría alguna forma matemática sencilla de describir la distancia de cada planeta al Sol, de manera que pudiésemos, mediante esa ley, saber la distancia a nuestra estrella del planeta anterior o posterior a aquel para que quisiéramos calcular su lejanía. En otras palabras, ¿las distancias de los respectivos planetas tenían algo en común y, si así era, existía alguna forma de establecer esa relación de manera matemática?.
Después de algunos fallidos intentos, Titius fue capaz de desarrollar una ley (o mejor dicho, una progresión geométrica) en la que se podían averiguar la lejanía de los planetas muy fácilmente. La ley de Titius establece los siguiente:

" Si comenzamos una serie de números por el 0, seguimos por el 3 y, a partir de aquí vamos duplicando cada valor, es decir, 0,3,6,12,24,48, etc., posteriormente sumamos a cada número 4 unidades, de tal manera que resulte 4,7,10,16,28,52,100, etc. y, finalmente, dividimos toda la secuencia por 10, dando 0,4, 0,7, 1, 1,6, 2,8, 5,2, 10,0, etc., estos valores correspondrán a la distancia respecto al Sol de cada uno de los planetas del Sistema Solar empleando Unidades Astronómicas (U.A's) ."

Pero no se sabe muy bien por qué razones, en lugar de divulgar el resultado en un libro o en algún prestigioso boletín astronómico (como nuestro Huygens actual), Titius lo hizo quizá donde menos posibilidades tenía de ser reconocido en el ámbito científico de la época: un libro sobre la inspiración divina en la Naturaleza. Charles Bonnet era un naturalista suizo que había publicado un libro, Contemplación de la Naturaleza, en el que dejaba su visión personal sobre la importante conexión entre los dioses y la Naturaleza. Titius hizo de traductor de la obra, publicando el libro en 1772, y no simplemente de traductor, sino también de coautor, porque añadió en el texto original algunos de sus conocimientos sobre el mundo natural... y su ley sobre las distancias de los planetas del Sistema Solar.
Sin embargo, tanto el libro como los complementos que Titius había agregado no fueron muy bien recibidos y, finalmente, se olvidó casi por completo. No obstante, antes de mencionar al hombre que "resucitó" la ley de Titius, vamos a detenernos un momento para analizarla más concretamente.
En primer lugar, debemos comparar los resultados que nos proporciona la regla de Titius con los datos reales de las distancias planetarias. Para ello tenemos la tabla 2.

Es admirable la precisión con la que la ley de Titius refleja a la perfección la distancia de cada uno de los 6 planetas conocidos hasta finales del siglo XVIII. El error en los resultados es mínimo (una centésima de U.A. en el caso de Mercurio, 2 para Venus, exactitud plena para la Tierra, 8 centésimas en Marte, de nuevo precisión absoluta para Júpiter y menos de ½ de U.A. en el caso de Saturno). Había, sin embargo, algunas lagunas no ocupadas por ningún cuerpo conocido. La más evidente era entre Marte y Júpiter, pues la ley de Titius indicaba que debería existir allí un planeta, a unas 2,8 U.A. Asimismo, señalaba la posible presencia de otros cuerpos planetarios a distancias de 20 y 40 U.A., aproximadamente. ¿Era razonable pensar que se descubrirían estos objetos a corto o medio plazo y así demostrar la veracidad de la ley, o simplemente era una coincidencia sorprendente entre los planetas conocidos del Sistema Solar en la época, y nada más?

Como ya se ha dicho, la ley de Titius fue ignorada durante un tiempo, hasta que un astrónomo alemán, Johann Elert Bode (1747-1826), que había fundado en 1774 el Anuario Astronómico Berlinés, la dio a conocer (de nuevo) en 1778, en una introducción a la Astronomía, escrita por él mismo. Maliciosamente, Bode no mencionó para nada el origen real de la ley (pese a que la había leído en la traducción realizada por Titius del libro de Bonnet) y todo el mundo creyó que era Bode su auténtico descubridor. En ediciones posteriores de su obra no tuvo más remedio que aceptar la procedencia de la ley, a su pesar. De hecho, Bode continuó citándola en sus escritos simplemente como "ley de Bode", por lo que los eruditos de la época (e incluso hasta en la actualidad puede encontrarse en muchas publicaciones prestigiosas) la llamaban así, olvidándose por completo del auténtico creador.

Los detractores de la ley (había muchos en la época, pues al no haber una base matemática sólida la consideraron como una coincidencia) recibieron un durísimo golpe en 1781. En aquellos años, William Herschel disponía de un telescopio de grandes dimensiones, construido por él mismo. De casi medio metro de diámetro y 6 de distancia focal, Herschel observaba con gran nitidez el cielo, y el 17 de marzo iba a descubrir un planeta nuevo. De hecho, tampoco era él el auténtico descubridor, pues al parecer el planeta ya había sido avistado en al menos 17 ocasiones anteriores al hallazgo de Herschel, pero la óptica de poca calidad que tenían los telescopios por aquel entonces fue insuficiente para ver el planeta como lo que era realmente. El astrónomo sueco Anders Lexell calculó la órbita y pudo saberse que la distancia a la que se encontraba el planeta era de... 19,18 U.A. O sea, un error de tan sólo 0,4 U.A. en relación a la ley De Titius. No está nada mal si pensamos que Urano, como fue llamado, estaba a casi 3.000 millones de kilómetros del Sol. Esto dio un nuevo impulso a la ley, pues ya no se limitaba únicamente a acertar las distancias de los planetas conocidos, sino que además era capaz de insinuar la existencia de otros planetas ignorados y su lejanía.

Sin embargo, hubo quienes todavía insistieron el "vacío" a 2,8 U.A. En esa distancia no había nada. ¿O sí? ¿Sería pues la ley de Titius lo suficientemente "competente" para predecir un cuerpo entre Marte y Júpiter?

A finales del siglo XVIII, más concretamente en 1796, un nutrido conjunto de renombrados astrónomos se reunieron en un Congreso Astronómico Internacional en el que, entre otras cosas, se propuso la búsqueda del planeta "faltante". Con tal propósito, la "policía del cielo", que así se autodenominaban un grupo de observadores alemanes decididos a encontrar el cuerpo en cuestión, empezaron en septiembre de 1800 un plan de vigilancia del cielo. Este grupo lo componían astrónomos de la talla de Wilhelm Olbers (1758-1840), famoso por su paradoja sobre el por qué de la negrura del cielo nocturno, Franz Xaver von Zach (1754-1832), que construyó un observatorio en Alemania dedicado a la tarea, y el ya conocido por nosotros Johann Elert Bode, quien puso gran esmero en encontrar el supuesto planeta para así confirmar la validez de su ley.

Sin embargo, ocurre a veces que quien menos empeño dedica a algo obtiene una sorprendente recompensa, tal vez por voluntad de la Providencia. Así sucedió con Giuseppe Piazzi (1746-1826) que por entonces se dedicaba a la confección de un catálogo de estrellas 4. El primer día del siglo XIX (1 de enero de 1801), el astrónomo estaba en su Observatorio de Palermo (Sicilia, Italia). Vio un punto de magnitud 8 y registró su posición. A la noche siguiente lo contempló de nuevo y observó que se había desplazado ligeramente. Poco después fue capaz de obtener su movimiento. Piazzi escribió a Zach comentándole el descubrimiento, y cuando la órbita pudo ser calculada, el asombro y la satisfacción fueron inmensos: !!el planeta estaba a 2,8 U.A. del Sol¡¡. Justamente lo que predecía la ley de Titius. No, ya no podía tratarse de una coincidencia. La ley había "profetizado" que a esa distancia habría un planeta y así era.

En los años sucesivos, Olbers (1802 y 1807), Harding (1804) y más tarde Hencke (1845 y 1847) e Hind (1847) descubrirían otros cuerpos en esa posición, lo que evidenció que no había un sólo objeto, sino varios, que se denominaron asteroides. De todas maneras, la mayoría de ellos se encontraban a una distancia media de 2,77 U.A. del Sol, fabulosamente cerca de lo que pronosticaba la ley.

Pero el Sistema Solar tenía reservadas unas cuantas sorpresas. Cuando los astrónomos vieron que tanto Urano como los asteroides casaban a la perfección dentro del esquema de la ley de Titius, pensaron que el siguiente planeta del Sistema se debería encontrar a la distancia de unas 38 U.A. Desafortunadamente, el 23 de septiembre de 1846, Johann Gottfried Galle (1812-1910) descubría a Neptuno y al conocer con seguridad su órbita se observó que el planeta estaba a 30,06 U.A. de media del Sol. Es decir, más de 1.300 millones de kilómetros más cercano a lo estimado.

Posteriormente, en febrero de 1930, el astrónomo Cylde Tombaugh (1906-1997) observaría un débil puntito de luz y al asegurarse de su movimiento entre las estrellas, lo que delataba que estaba más cercano que ellas, calculó la distancia. Paradójicamente, no estaba a 77,2 U.A. predicha por la ley de Titius, sino tan sólo a 39,44 U.A. O sea, que aproximadamente, Plutón estaba en el lugar que le correspondía a Neptuno. En la figura 1 tenemos un gráfico con las diferencias de distancias entre las que daba la ley de Titius y las reales, de manera que podamos comparar en qué medida cuadra la verdad con lo conjeturado por ella.

Figura 1: en el gráfico vemos la comparación entre el valor real (línea verde) de la distancia de los planetas al Sol y el valor predicho por la ley de Titius (línea gris). Para la mayoría de los casos las dos valores coinciden y sólo en Neptuno y Plutón hay una sobreestimación grande. Curiosamente, la distancia de Neptuno sería la correspondiente para Plutón.

Prácticamente todos los planetas están a la distancia predicha por la ley de Titius. En los dos últimos casos se aprecia la evidente falta de la precisión, pues Neptuno, como ya se ha dicho, está más de 1.000 millones de kilómetros más cerca y respecto a Plutón, la ley presumía una distancia de 11.000 millones de kilómetros cuando este planeta está a sólo 6.000 millones. Es decir, Neptuno y Plutón son dos cuerpos rebeldesque no se atañen a la ley de Titius. ¿Sería esto suficiente como para arrinconarla, olvidarse de ella y considerarla sólo una coincidencia astronómica? ¿Merecía la ley una segunda oportunidad? ¿Iban a dársela los astrónomos descubriendo otros mundos en torno a otros astros y confirmando su validez universal, si es que ésta era real?
Uno de los últimos "favores" que se le ha hecho a la ley de Titius ha sido el considerar a Plutón no como un planeta auténtico, sino más bien rebajarle a la categoría de asteroide. Por su pequeñez, su extraña órbita y sus características nada coincidentes con los planetas externos, parece ésta una medida adecuada. Además, beneficia a la ley en cuanto se consideran sólo ocho planetas del Sistema Solar, y siete de ellos se ajustan a las distancias predichas. Ahora, pues, Neptuno es el rebelde, y como la mayoría de ellos, un rebelde solitario. Por tanto, dentro de nuestro Sistema, en lo concerniente a planetas, Neptuno es la excepción que confirma la regla. La ley de Titius puede considerarse válida dentro de nuestro recinto planetario.
Pero, como todos sabemos, los planetas tiene satélites que, como la querida Luna, dan vueltas incansablemente alrededor de su señor. ¿Qué hay de éstos satélites? ¿También cumplen las órdenes de la ley de Titius? En la tabla 3 tenemos las distancias de los satélites a sus respectivos planetas, en miles de kilómetros.

Si empezamos por Marte, la distancia entre sus dos lunas, Fobos y Deimos, es ligeramente mayor que el factor doble.

En cuanto a Júpiter, tanto Metis como Adrastea están casi a la mitad de la distancia que les separa de Thebe (Amaltea, en medio de ellas, rompe un poco la progresión). A su vez, Ío está el doble de lejos que Thebe, y Europa una vez y media a más distancia que aquella. También Ganímedes y Calixto siguen la separación prevista, más o menos. Luego hay un gran salto hasta los satélites menores de Júpiter, Leda, Himalia, Lysitea y Elara, todas ellas a semejante distancia de su planeta. Las lunas siguientes, Ananke, Carme, Pasifae y Sinope están razonablemente cerca de lo que "marca" el procedimiento.

Con ello llegamos al caso de Saturno. Podemos considerar que Pan, Atlas, Prometeo, Pandora, Epimeteo y Jano se hallan a la misma distancia. Mimas y Encélado son dos "rebeldes", pues si no existieran la relación doble entre el grupo anterior de satélites y el siguiente, Tetis, Telesto y Calipso, sería perfecta. La pareja Dione y Helena apenas estás a 1,3 veces más lejos que Tetis, lo mismo que Rhea, pero entre ésta y Titán vuelve a aparecer el factor doble. Iapeto es nuevamente un "rebelde" , aunque él e Hiperión guarden la relación a la perfección. Febe es un caso aparte.

Johan Daniel Dietz, tambien conocido como Titius ded Wittemberg (1729-1796)		Johan Elert Bode (1747-1826)

Urano tiene un grupo de pequeños satélites muy cerca. Juntándolos a todos, y aceptando un valor medio de 60.000 kilómetros para la distancia al planeta, la siguiente luna, Miranda, está justo el doble de lejos. Una relación media de 1,5 se guarda entre ella y cada uno de los otros cuatro grandes satélites uranianos, Ariel, Umbriel, Titania y Oberón.

Representacion de la situación de los planetas del Pulsar B2157+12, que cumplen casi a la perfeccion la ley de Titius

Por su parte, el primer grupo de satélites de Neptuno, formado por Náyade, Thalassa, Despina, Galatea y Larissa, se encuentran aproximadamente a la mitad de distancia de su planeta que Proteo. Tritón también mantiene la relación, y únicamente la pequeña Nereida desentona del conjunto.
En resumen, y a grandes rasgos, se puede afirmar que la distancia de los satélites del Sistema Solar con sus respectivos planetas se conserva en una relación doble entre uno de ellos y el siguiente.

Lo que esto conlleva es que la ley de Titius aplicada a los planetas es igual de válida en lo concerniente a los satélites. Hay algún caso de "rebeldía", pero en general es válida. Ahora bien, podría pensar algún escéptico a ultranza que la ley de Titius sólo es válida en el Sistema Solar, el nuestro. Para que pueda consolidarse esta ley como tal, debería se capaz de reproducirse en otros Sistemas externos. Lamentablemente los telescopios de que disponen en la actualidad los astrónomos no son aún capaces de observar directamente planetas. Todos los descubrimientos hechos hasta la fecha presente de cuerpos planetarios extrasolares se han avistado por medio de alteraciones en la luz de las estrellas a las que orbitan, y no vislumbrados directamente, como vemos nosotros a Marte o Saturno. La totalidad de los objetos encontrados son de gran tamaño; mucho mayores que la Tierra e incluso que Júpiter, pero la debilidad de los posibles planetas semejantes al nuestro hace, por ahora, imposible su detección.

No obstante, cuando en la década de los años noventa se descubrieron tres objetos en torno a un púlsar (llamado PSR B1257+12) los astrónomos quedaron noqueados al observar incrédulos que las distancias a las que se hallaban tales cuerpos era casi idéntica a las de Mercurio, Venus y la Tierra en relación con el Sol. Es decir, cumplían razonablemente bien la ley de Titius.

La Galaxia M81, incorporada al catologo Messier por Bode.

Con posterioridad se han venido realizando otras detecciones de planetas en torno a estrellas normales. HD 168443 tiene un planeta a 0,25 U.A. de distancia (menos que de Mercurio al Sol) y otro a 2,8 U.A. (no cumple la ley directamente, cierto, pero podría haber planetas más pequeños entre los dos). En Ups And han sido tres los cuerpos encontrados: a 0,1, 1 y 2,6 U.A., grandes distancias sí, pero manteniendo un cierto equilibrio. HD 82943 posee otros dos planetas que guardan una distancia entre sí casi doble, y también HD 74156 contiene un par de planetas con lejanías próximas a la ley de Titius.

Sin embargo, este conjunto de cuerpos detectados es forzosamente provisional. En los próximos años, con seguridad, nuevos planetas (de dimensiones similares a la Tierra) serán descubiertos, y entonces podremos afirmar con rotundidad si lo que parecía una graciosa y curiosa progresión geométrica (pero nada más) se convertirá en una ley auténtica, universal, presente en la mayoría de sistemas planetarios de la Galaxia. Será entonces cuando los astrónomos deberán buscar una base teórica sólida sobre la que explicar por qué motivo los planetas y satélites mantienen la sorprendente relación doble de sus distancias a su estrella o planeta respectivo. Posiblemente la encuentren. O, quizá, sea otro misterio en el mundo de la Astronomía. Una picardía del Creador (si lo hay), dispuesto a sorprendernos una vez más.

Bibliografía:

- The Titius-Bode Law of Planetary Distances, M.M. Nieto , Oxford (1972)
- El Sistema Solar, J.M. Vidal , Salvat (Barcelona, 1973)
- Asteroides, Cometas y Meteoritos, M. Cruz, Sirius (Madrid, 1988)
- El secreto del universo, J. Kepler , Altaya (Barcelona, 1994)
- Un planeta llamado Tierra, G. Gamow , RBA (Barcelona, 1994)
- Sol, lunas y planetas, E. Keppler , Salvat (Barcelona, 1995)
- El Universo para curiosos, N. Hathaway , Crítica (Barcelona, 1996)
- Diccionario del Cosmos, J. Gribbin , Crítica (Barcelona, 1997)
- El origen del Sistema Solar, J.M. Trigo , Editorial Complutense (Madrid, 2001)